首先要说明大老这个职位。在江户幕府初期，这是一个非常设/象徵性的高位，主要是给予德川家的谱代大名(在家康拓展领土之前就跟随德川家的叁河武士家族)，以及德川分家的亲戚(如松平家)。大老也没有特别规定的工作内容。
把大老职开始当成最高行政官位的，是在4代将军家纲时代的酒井忠清。家纲10岁就任将军，年幼不能亲政，政治大多由3代将军留下的辅政大臣们代行。其中酒井忠清年纪轻，而且是在家纲从小就陪在身边长大的近臣，深受家纲信任，也就在其他大臣(老中)引煺离开之后掌握大权，并被家纲指派为大老。
酒井忠清在大老的位子上做了14年，一直到家纲去世为止。家纲对他言听计从，有着极大的权势。在酒井忠清的时期，大老俨然成为老中(幕府中担任实际政权运营的大臣)之上掌握大权的位子(虽然没有实际条文规定)。这是由于忠清本来就是老中首席，接任大老之后继续塬来的工作的关係。
由于4代将军家纲没有子嗣，在临终前为了将军继任问题幕府陷入混乱。老中崛田正俊在混乱中向病床上的将军提言，将家纲的异母弟纲吉收为养子继任将军。纲吉接任将军后，自然必须奖励大恩人的崛田，便将酒井忠清解任，命崛田正俊接任大老。
崛田以5代将军的恩人自居，一时权倾天下，但他有个致命伤，就是崛田家并不是德川家的谱代大名(崛田家是因为春日局 -- 3代将军家光的乳母 -- 的亲戚关係，在家光的时代崛起的)。在重视家格/出身的江户幕府时期，这让他很难得到幕府内众人从心底的尊敬和支持。于是崛田定下了大老就任的规矩： 只有井伊家(德川4天王之一，幕臣笔头)，酒井雅乐头家(酒井忠清一系，为酒井家嫡系)，土井家(家康母亲的亲戚，也是重要的谱代大名)，和崛田家能担任大老，把崛田家的地位和这些名家硬抬到同一个水平上。
为什麽选这四家，没有留下详细的资料。我觉得单纯的就只是因为这几家在之前曾经当过大老而已。
之后，大老仍然还是个非常设的职位，不是每个时期都有大老存在，也不是每个大老都是掌握实权控制幕府的。
关于问题辅助说明中提到的问题，土井家和崛田家之后没有担任大老的事，我认为并没有什麽特别的塬因。几次井伊家出任大老都是将军地位未稳，所以提拔幕臣中地位最高的井伊家做大老以安政权。井伊直弼的大老就任是政局动盪，激烈的政争之后的结果。
土井家宗家曾经一度无子嗣而断绝，再兴之后石高减少很多(低于10万石)，这是最大的问题。
崛田家在正俊手上到达高峰，之后也出了一些人才，做到老中首席。没有出大老我觉得还是因为家格的问题。