羊欣字敬元，是泰山南城人。曾祖羊忱，在晋朝曾任徐州剌史。祖父羊权，做过黄门郎。父亲羊不疑，任桂阳太守。
羊欣年轻时性格沉静，不与人争强斗胜，言笑和美，容貌举止俱佳。广泛阅读经籍，尤其擅长隶书。羊不疑起初任乌程县令时，羊欣正好十二岁，当时王献之任吴兴太守，很赏识他。王献之曾在夏天来到乌程县官署，羊欣正穿着新绢裙午睡，王献之在他的裙子上写了几幅字就离去了。羊欣原本善于书法，由此书法就更有长进了。
羊欣最初出仕任辅国参军，军府解散后又回到家中。隆安年间，朝政逐渐混乱，羊欣在家中悠闲度日，不再仕进。会稽王世子司马元显每回要羊欣写字，往往辞谢，不遵命。元显愤怒，就任命他为自己的后军府舍人。这个职务本来由寒门担任。可是羊欣意态泰然自若，并不因高门任卑职而怒形于色，人们议论时都称赞他。
羊欣曾拜访领军将军谢混，谢混先拂扫座席更换服装。然后接见。当时谢混的族子谢灵运在座。他离开后，告诉族兄谢瞻说：“望蔡接见羊欣，就更换服装和坐席。”羊欣由此更知名了。
桓玄宰辅朝政，领平西将军，以羊欣为平西参军，又转为主簿，参预机要事宜。羊欣打算主动疏远桓玄，故意不时泄露机密。桓玄察觉羊欣的心思，愈发敬重他，任命他为漥台殿中郎，对他说：“国家政务由尚书主持，朝廷礼乐由殿中省制定。你以前身处机要之地，与目前职务相比，还是轻的。”羊欣就职几天后，称病辞职，隐居里巷，十余年没有出仕。
义熙年间，其弟羊徽得到刘裕的信任重用。刘裕对谘议参军郑鲜之说：“羊徽是一时杰出人才，舆论还认为他比不上兄长，未能结识羊欣，令人遗憾。”立即下书，以羊欣补右将军刘藩司马，又转为长史，又任中军将军刘道怜的谘议参军。又出任新安太守。在郡四年，以政治宽简爱护百姓著称。除授临川王义庆辅国长史，庐陵王义真车骑谘议参军，都未就任。刘义隆敬重他，让他担任新安太守，前后共十三年。其间游山玩水，很有怡情养性的乐趣。后来转任义兴太守，并非他喜爱的地方。不久，又称病重，辞职归家。被授予中散大夫。
他平常喜好黄老之学，经常手抄黄老典籍，有病不吃药，饮符水而已。又擅长医术，撰《药方》十卷。羊欣因为不堪拜伏，便推辞不参加朝觐，刘裕、刘义隆都以没有见过他为遗憾。如果不是探访省问近亲，他不随便去别人家。出行一定是在城外，从来没有进过建康城门。元嘉十九年去世，当时七十三岁。