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朱世杰和他的《四元玉鉴》

朱世杰，生平不详，字汉卿，号松庭，燕山（今北京）人，元朝杰出的数学家。他长期从事数学研究和教育事业，主要著作有《四元玉鉴》和《算学启蒙》。
13世纪末，中国为元朝所统一，遭到破坏的经济和文化又很快繁荣起来。蒙古统治者为了兴邦安国，开始尊重知识，大量选拔人才，把各科学的发展推向了新的高峰。
当时忽必烈网罗了一大批汉族知识分子组成智囊团，其中就有王恂、郭守敬、李治等人，这个智囊团中的人物，对数学和历法都很精通。
这时的朱世杰也继承了北方数学的主要成就 天元术，并将其由二元、三元推广至四元方程组的解法。朱世杰除了接受北方的数学成就之外，他还吸收了南方的数学成就，尤其是各种日用算法、商用算术和通俗化的歌诀等等。
在元灭南宋以前，南北之间的交往，特别是学术上的交往几乎是断绝的。南方的数学家对北方的天元术毫无所知，而北方的数学家也很少受到南方的影响。朱世杰曾 周游四方 ，经过20多年的游学、讲学等活动，他终于在1299年和1303年，在扬州刊刻了他的两部数学杰作 《算学启蒙》和《四元玉鉴》。
《算学启蒙》包括了从乘除法运算及其捷算法到开方、天元术、方程术等当时数学各方面的内容，由浅入深，形成了一个较完整的体系。正文前，列出了九九歌诀、归除歌诀、斤两化零歌、筹算识位制度、大小数进位法、度量衡制度、圆周诸率、正负数加减乘法法则、开方法则等18条作为总括，作为全书的预备知识，其中正负数乘法法则不仅在中国数学著作中，在世界上也是首次出现。许多歌诀比杨辉的更加完整准确，有的已与现代珠算口诀几乎完全一致。
《四元玉鉴》是朱世杰最杰出的作品，在这部书中记载了他对多元高次方程组解法、高阶等差级数求和、高次内插法等问题的见解，受到近代数学史研究者的高度评价，认为是中国古代数学科学著作中最重要的、最有贡献的一部数学名著。
朱世杰的另一重大贡献是对于 垛积术 的研究。他对于一系列新的垛形的级数求和问题作了研究，从中归纳出 三角垛 的公式，实际上得到了这一类任意高阶等差级数求和问题的系统、普遍的解法。朱世杰还把三角垛公式引用到 招差术 中，指出招差公式中的系数恰好依次是各三角垛的积，这样就得到了包含有四次差的招差公式。他还把这个招差公式推广为包含任意高次差的招差公式，这在世界数学史上是第一次。
在中国数学史上，朱世杰第一次正式提出了正负数乘法的正确法则；他对球体表面积的计算问题作了探讨，这是我国古代数学典籍中唯一的一次讨论，结论虽不正确，但创新精神是可贵的。在《算学启蒙》中，他记载了完整的 九归除法 口诀，和现在流传的珠算归除口诀几乎完全一致。
总之，朱世杰继承和发展了前人的数学成就，为推进我国古代数学科学的发展做出了不可磨灭的贡献。朱世杰不愧是我国乃至世界数学史上负有盛名的数学家。